Recibido: 27 marzo 2024
Aprobado 29 junio 2024
Volumen 3. Número 1. Año 2024, p. 14-30
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Estabilidad de sistemas lineales en tiempo continuo
Stability of Linear Systems in Continuous Time
Argenis Alexander Ángel Sáez 1
1
Resumen:
El presente trabajo tiene como propósito analizar la estabilidad absoluta de sistemas
de control lineales en tiempo continuo que se basan en el criterio de estabilidad de
Routh y de la ganancia límite. Para esto se proporcionan las teorías asociadas de
estabilidad en función a las raíces de ecuación característica (polos en lazo cerrado),
así como el efecto de la variación de un parámetro de ganancia cuando se entona un
controlador PID de forma analítica, es decir, si se conocen los modelos matemáticos
de la planta y utilizando las relaciones dadas por Ziegler-Nichols. Se emplea Simulink
de Matlab para observar de forma gráfica las respuestas de sistemas que son estables
o no y cómo influye el controlador PID diseñado por el método de la ganancia límite
en la trayectoria de lazo cerrado de un sistema de control.
Palabras clave: Criterio de estabilidad, ecuación característica, estabilidad absoluta,
ganancia límite, sistema de control
Abstract:
The aim of this work is the analysis of the absolute stability of linear control systems
in continuous time, based on the criterion of Routh’s stability and the ultimate gain. To
achieve this, we reviewed the theories associated to stability as a function of the roots
of the system characteristic equation (closed-loop poles), as well as the effect on the
variation of a gain parameter when a PID controller is analytically tuned by Ziegler-
Nichols’s relations, once mathematical models of the plant are known. The application
of Matlab Simulink was used to graphically observe whether the shape of the systems
response is stable or not and to observe as well how the PID controller, tuned by the
ultimate gain method, influences on the closed-bond trajectory in a control system.
Keywords: Criterion of stability, characteristic equation, absolute stability, ultimate
gain, control system
1
Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales Ezequiel Zamora, Ingeniero
Electrónico, https://orcid.org/0009-0004-0274-0333
Autor de correspondencia: aalexangelsaez@gmail.com
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Introducción
El criterio de estabilidad de Routh proporciona una prueba satisfactoria a la
estabilidad absoluta. Sin embargo, dicho teorema presenta limitaciones para el
análisis de un sistema de control lineal, “sobre todo porque no sugiere cómo mejorar
la estabilidad relativa ni cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es
posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se
examinan los valores que producen inestabilidad” (Ogata, 2003, p. 237)
Lo ideal es conseguir un modelo matemático de la planta, con el cual, podría
ser posible diseñar diversas técnicas y aplicarlas en el sistema, con la finalidad de
establecer parámetros del controlador cumpliendo las especificaciones del estado
transitorio y del estado estacionario del sistema en lazo cerrado (Ogata, 2003)
El método de la ganancia límite permite obtener un valor KU en el cual las
oscilaciones de la respuesta de un sistema son de amplitud constante o sostenidas y
es aquí donde dicha metodología tiene relación con el criterio de estabilidad de Routh,
dado que esto se produce cuando existen polos de lazo cerrado sobre el eje
imaginario del plano s, lo que se traduce en un valor ‘cero’ en la columna principal del
arreglo de Routh. En el análisis de los sistemas lineales suelen utilizarse funciones
de transferencia como modelos matemáticos que generalmente se obtienen de las
ecuaciones diferenciales dinámicas que describen el comportamiento del sistema,
haciendo énfasis en las entradas y salidas del proceso en estudio.
La función de transferencia de un sistema G(s) descrito mediante una ecuación
diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la
transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de
Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las
condiciones iniciales son cero Ogata, K. (2003).
) (1)
Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la
siguiente ecuación diferencial:
(n) (n-1) (m) (m-1)
(2)
En donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de
transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de
ambos miembros de la ecuación (1) en forma independiente, con la suposición de que
todas las condiciones iniciales son cero y se obtiene:
(3)
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Utilizando este concepto de función de transferencia se puede representar la dinámica
de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el
denominador de (2) es n se dice que el sistema es de orden n.
Considere el sistema de lazo cerrado de la figura1
Figura 1
Diagrama de control de lazo cerrado
La función de transferencia en lazo cerrado es
(4)
Siendo la ecuación característica del sistema
(5)
Por otro lado, la señal de error se obtiene mediante
(6)
Estabilidad
Un sistema es estable si responde en forma limitada a una excitación limitada
tal como un impulso unitario (Llata y Gonzalez, 2021). Un sistema estable es aquel
en que los transitorios decaen, es decir, la respuesta transitoria desaparece para
valores crecientes del tiempo.
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Figura 2
Respuestas transitorias
Para esto sólo es necesario calcular las raíces del denominador de la función
de transferencia del sistema (ecuación característica), y comprobar su posición en el
plano complejo s, para saber si el sistema es estable y cómo afecta cada una de las
raíces.
En este sentido se sugiere que los coeficientes de t en los términos
exponenciales de la respuesta transitoria (soluciones de la ecuación diferencial en el
dominio del tiempo que caracteriza al sistema) sean números reales negativos o
números complejos con parte real negativa. Esto implica que para que un sistema sea
estable las raíces de la ecuación característica deben ser negativas o con parte real
negativa. Esto es ya que la ecuación característica representa la parte transitoria
(homogénea) de la ecuación que rige el sistema. De lo anterior se puede decir que la
estabilidad no depende de la entrada, sino que es una característica propia del
sistema.
Metodología
El presente estudio corresponde al tipo de investigación descriptiva – analítica,
debido a que se realiza según el análisis y alcance de los resultados obtenidos y
metodología de enfoque cuantitativo donde los resultados se obtienen mediante
cálculos y simulaciones sustentadas en las teorías existentes del tema. El estudio
aplica los métodos del criterio de estabilidad de Routh y de la ganancia límite.
Criterio de Estabilidad Routh
Es un método que se emplea para determinar si la ecuación característica tiene
o no raíces con parte real positiva sin necesidad de determinar el valor preciso de
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estas raíces Smith, C. (2008). Como casi todos los sistemas lineales en lazo cerrado
tienen funciones de transferencia para n ≥ m de la forma dada en la ecuación (2)
La ecuación característica de este sistema viene dada mediante:
(6)
El criterio de estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo
cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s. El procedimiento
en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:
1. Si alguno de los coeficientes de la ecuación característica es cero o negativo,
ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces
imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es
estable. Si sólo interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con
el procedimiento.
2. Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del
polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo
siguiente que se muestra en la tabla 1:
Figura 3
Arreglo de Routh
Donde:
01 ,,, aaa nn
−
: son los coeficientes de la ecuación característica. El resto
de los coeficientes se obtienen mediante las relaciones:
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La tabla se continúa horizontal y verticalmente hasta que solo se obtengan
ceros. El criterio de Routh dice que:
• Todas las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas
si todos los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen el
mismo signo.
• De lo contrario el número de raíces con partes reales positivas es igual al
número de cambios de signo.
• Si existe un cero no terminal el sistema tiene un par de raíces imaginarias
puras.
• Si existen ceros terminales implica una raíz cero.
El criterio de estabilidad de Routh no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa
ni cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los
efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores
que producen inestabilidad.
Método de la Ganancia Límite
Si se conoce la función de transferencia de la planta, se puede calcular la
respuesta escalón unitario o la ganancia límite KU y el periodo límite TU. Para esta
regla se establece que Ti = ∞ y Td = 0, usando sólo la acción de control proporcional.
Se incrementa el valor de Kp de 0 a un valor crítico KU en donde la salida exhiba
primero oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas
para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este método).
En la práctica con el controlador en automático (lazo cerrado), se incrementa
la ganancia proporcional (o se reduce la banda proporcional), hasta que el sistema
oscila con amplitud constante; se registra el valor de la ganancia con que se produce
la oscilación sostenida como KU. Este paso se debe efectuar con incrementos
discretos de la ganancia, alterando el sistema con la aplicación de pequeños cambios
en el punto de control (consigna a cada cambio en el establecimiento de la ganancia).
Los incrementos de la ganancia deben ser menores conforme ésta se aproxime
a la ganancia límite.
Por tanto, la ganancia límite KU y el periodo TU correspondiente se determinan
también experimentalmente
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Figura 4
Salida con oscilaciones sostenidas
Esquema de flujo para el calculo de la onda tomando en cuenta la constante y el
proceso descrito.
Figura 5
Sistema de control sólo proporcional con realimentación unitaria
Acción de control proporcional – integral – derivativa (PID).
Viene dada como la combinación de una acción de control proporcional, una
acción de control integral y una acción de control derivativa (la salida del controlador
es proporcional al error, a su derivada y a su integral). Esta acción combinada tiene
las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. Ogata, K. (2003).
Si e(t) es la señal de error en el dominio del tiempo, la ecuación de un controlador con
esta acción combinada se obtiene mediante
O bien
Donde Ti y Td corresponden a los tiempos integral y derivativo, mientras que
Kp, Ki y Kd son las ganancias Proporcional, Integral y Derivativa respectivamente.
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Conocidos los parámetros TU y KU bien sea experimentalmente o por medio del
análisis de la ecuación característica del sistema en conjunto con el estudio de la
estabilidad en lazo cerrado, se emplean las ecuaciones dadas en la tabla 2 por
Ziegler-Nichols para el ajuste del controlador.
Tabla 6.
Ecuaciones de Ziegler-Nichols
Resultados y discusión
Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de
control.
Figura 7
Considerando el sistema con realimentación unitaria de la figura
Debe existir un rango de valores de K para la estabilidad de dicho sistema.
En este sentido la función de transferencia en lazo cerrado es
Siendo la ecuación característica del sistema
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O bien
s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0
El arreglo de coeficientes para el criterio de estabilidad de Routh es como sigue
Para la estabilidad
K > 0, 2 – 9/7K > 0
Donde
0 < K < 14/9
Con este análisis se puede determinar que los valores de la ganancia K que
garantizan una respuesta amortiguada o de oscilaciones sostenidas se encuentran
en el intervalo (0, 14/9)
Empleo de simulink de matlab para el estudio de la estabilidad en un sistema de
control
Simulink es una toolbox especial de matlab que se emplea para simular el
comportamiento de los sistemas dinámicos tanto lineales como no lineales, modelos
en tiempo continuo, tiempo discreto y sistemas híbridos. Es un entorno gráfico en el
cual el modelo a simular se construye tomando los elementos disponibles en las
librerías de simulink y arrastrando los diferentes bloques que lo constituyen. Los
modelos simulink se guardan en ficheros con extensión *.mdl.
Tomando el ejemplo anterior donde la estabilidad se logra para valores de la
ganancia entre 0 y 14/9; además teniendo en cuenta que
s(s2+s+1)(s+2) = s4 + 3s3 + 3s2 + 2s
Se implementan los módulos que simulan el comportamiento del sistema para K =
0.5
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Figura 8
Diagrama de función
En el módulo Transfer Fcn se ejecuta la función de transferencia de lazo abierto
del presente sistema de cuarto orden, cuyos parámetros de entrada se introducen
como se muestra en la siguiente figura. Se usa como referencia un escalón unitario
dado que es la señal por excelencia en este tipo de pruebas, y a la salida se conecta
el osciloscopio virtual que permite observar la señal de salida o respuesta del sistema
al escalón
Figura 9
Rangos de programación
Cambiando ahora K para un par de valores que se encuentran en el rango de
estabilidad resulta la siguiente grafica que se puede observar en la figura 10
Figura 10
Vista de la respuesta en el osciloscopio virtual de Simulink
K = 0.5 K = 1
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Al utilizar ahora valores de la ganancia fuera del rango estable se obtiene, en
ambos casos las oscilaciones aumentan su amplitud conforme crece el tiempo, por lo
tanto, el sistema se vuelve inestable, como se puede observar en la figura 11.
Figura 11
Simulación con valores fuera de rango
K = 1.5 K = 2
K = 3
Determinación de la ganancia limite y entonación del controlador PID
En el sistema de la figura se tiene realimentación unitaria
Figura 12
Ecuación y diagrama
El proceso (Actuador – Planta) viene representado por la función de transferencia
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Haciendo Gc(s) = Kp, la función de transferencia en lazo cerrado del sistema se
escribe como
Donde la ecuación característica es
Resultando la ecuación de tercer orden
s3 + 6s2 + 5s + Kp = 0
Aplicando el arreglo de Routh se obtiene
De la primera columna del arreglo se deduce que la ganancia límite para la
oscilación sostenida es
Kp = KU = 30
Con esto la ecuación característica se convierte en
s3 + 6s2 + 5s + 30 = 0
Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida (frecuencia límite), se
sustituye s = jω en la ecuación característica:
(jω)3 + 6( jω)2 + 5(jω) + 30 = 0
Separando las partes real e imaginaria resulta
(30 – 6ω2) + (5 – ω2) jω = 0
Por lo tanto se tiene que ω2 = 5 o bien ω = 2.24, El período de la
oscilación sostenida (período límite) se obtiene mediante
Tu = 2п/ω = 2п/2.24 = 2.8
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En cuanto a los parámetros del controlador PID se emplean las ecuaciones
dadas por Ziegler-Nichols para el método de ganancia límite
Kp = 0.6 Ku = 18
Ti = 0.5 Tu = 1.4
Td = 0.125 Tu = 0.35
Suponga que se desea determinar la ganancia límite de un controlador de
temperatura para un intercambiador de calor si el sistema presenta las siguientes
características en los elementos de lazo cerrado:
Considerando la disposición básica de los elementos en un bucle de control se
tiene el sistema real
Figura 13
Proceso de calculo
Para este sistema, se escribe la ecuación característica en la forma
Haciendo Gc(s) = Kp y sustituyendo el resto de los elementos se obtiene
Al efectuar los productos y simplificar resulta
900s3 + 420s2 + 43s + 1 + 0.8Kp = 0
El arreglo de Routh es el siguiente
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Donde
Para la estabilidad se requiere:
Kp ≥ - 1.25
17160 – 720 Kp ≥ 0 siendo Kp ≤ 23.8
Dado que la primera condición no satisface el criterio (una ganancia negativa
significa que la acción del controlador no es la correcta), se toma la segunda condición
esto es:
Kp = KU = 23.8
Se hace s = jω en la ecuación característica para encontrar la frecuencia de la
oscilación sostenida
900(jω)3 + 420( jω)2 + 43(jω) + 1 + 0.8 Kp = 0
Lo cual conduce al siguiente sistema
- 420ω2 + 1 + 0.8 Kp = 0
- 900ω3 + 43ω = 0
Con soluciones:
Para ω = 0 se obtiene KU = - 1.25
Para ω = 0.218 se obtiene KU = 23.8
La primera solución implica que el sistema no oscila, si no que se mueve de
forma monótona en una dirección u otra, por lo tanto el valor que interesa es ω =
0.218
El período de la oscilación sostenida es entonces
Tu = 2п/ω = 2п/0.2186 = 28.7
Finalmente, los parámetros del controlador de temperatura (PID) son
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Kp = 0.6 Ku = 14.28; Ti = 0.5 Tu = 14.35; Td = 0.125 Tu = 3.59
La implementación de este sistema en simulink de Matlab puede hacerse como
Figura 14
Diagrama de calculo
Aquí se utiliza la función escalón de 5 unidades tanto para la señal de
referencia como para la perturbación. En el caso del actuador se emplea el módulo:
Figura 15
Ecuaciones de salida
De forma análoga se procede en los bloques de la planta y el transmisor. Por
otro lado, simulink contiene un módulo para simular controladores PID, donde los
parámetros que se solicitan son las ganancias Proporcional, Integral y Derivativa, en
este sentido:
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La ecuación presenta el proceso de cálculo, mientras que la figura 16 presenta
el resultado y la grafica simulada en el programa, Una vez aplicados los valores de
las ganancias.
Figura 16
Resultado de simulación
Se observa oscilaciones iniciales que son amortiguadas aproximadamente
después de 100 segundos, llegando a estabilizarse en el valor 5 que corresponde a
la referencia.
La variación de los niveles de ganancia en el intervalo válido para la estabilidad
obtenido a partir del criterio de Routh, permitirá determinar el efecto positivo o
negativo de dicha variación lo cual suele considerarse en aplicaciones de diseño de
sistemas de control de forma general; así mismo conocidos los valores de la ganancia
límite, el período y frecuencia límites se puede ajustar un controlador PID por medio
de las ecuaciones de Ziegler-Nichols que permita mantener regulado el sistema para
un valor de referencia establecido.
La implementación de los sistemas lineales en simulink de matlab permiten
observar respuestas condicionadas a valores de la ganancia considerada y estimar la
duración los transitorios, así como el tiempo en que se produce el régimen
permanente en respuestas subamortiguadas. Así mismo se pueden apreciar las
salidas con oscilaciones obtenidas (sinusoides no amortiguadas) que ocurren en la
ganancia límite y que a partir de la misma el sistema se vuelve inestable exhibiendo
oscilaciones crecientes en amplitud.
Cabe destacar que la utilización del PID Controller de simulink permite verificar
el comportamiento del sistema introduciendo correctamente en el bloque virtual los
valores de las ganancias proporcional, integral y derivativa obtenidas en los cálculos
manuales. Para valores correctos el controlador mantendrá los niveles de la salida en
valores convergentes a la señal de referencia que para efectos de simulación se usó
un escalón de amplitud constante.
Conclusiones
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Cuando se tienen sistemas lineales representados mediante diagramas de
bloque y funciones de transferencia, la presencia de un parámetro de ganancia en la
trayectoria principal de lazo cerrado determina en gran medida la estabilidad absoluta
del sistema. A través del criterio de estabilidad de Routh se puede conocer el rango
de valores que debe tener esta ganancia para que el sistema exhiba en su salida
respuestas amortiguadas o en su defecto con oscilaciones sostenidas.
El método de la ganancia límite usa básicamente el criterio de Routh, siempre
y cuando se tenga información de los modelos matemáticos de los elementos del
sistema, para encontrar la ganancia que produce la estabilidad marginal (máximo
valor de la ganancia) en la cual tienen lugar las oscilaciones sostenidas. Esto se
obtiene de suponer una expresión que contenga a la ganancia igualada a cero en la
primera columna del arreglo de Routh.
En simulink de matlab se puede evaluar esta condición implementado el
sistema mediante bloques funcionales donde se cargan los elementos del sistema de
control a partir de sus respectivas funciones de transferencia, generadores de
funciones para introducir la señal de referencia o perturbaciones y graficadores como
osciloscopios virtuales propios del software para observar las respuestas o salidas del
sistema.
Referencias
Ogata, K. (2003) “Ingeniería de Control Moderna”. Pearson Educación. Madrid,
España.
Ogata, K. (2003) “Ingeniería de Control Utilizando Matlab”. Un enfoque práctico.
Prentice Hall. Madrid, España.
Smith, C. (2008) “Control Automático de Procesos”. Editorial Limusa. México.
Kuo, B. (1996) “Sistemas de Control Automático”. Pearson Prentice Hall.
Séptima Edición.
Dorf, R. y Bishop R (2005) “Sistemas de Control Moderno”. Pearson Prentice
Hall. Décima Edición.
